Movimiento circular uniformemente variado

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) corresponde al movimiento cuya trayectoria es curva y la velocidad es variable. Este movimiento, además de presentar aceleración centrípeta, como el caso del movimiento circular uniforme, presenta aceleración tangencial y aceleración angular. La aceleración tangencial aparece por efecto de la variación de la magnitud de la velocidad y la aceleración angular, por efecto de la variación de la velocidad angular.
Movimiento circular uniformemente variado
Cuando existen las dos aceleraciones, tangencial y centrípeta, la aceleración resultante es:

$\boxed{ \vec{a}=\vec{a}_{C}+\vec{a}_{T}\; \; \; \; \; \; \; \; \left | a \right |=\sqrt{a_{C}^{2}+a_{T}^{2}}}$

Las relaciones angulares indican el comportamiento de un cuerpo en un movimiento circular uniformemente variado, por ello deben ser estructuralmente invariantes frente a otros sistemas de referencias; en una dimensión o en dos dimensiones. Esto se resume en el siguiente cuadro:

Relaciones	Angulares	Horizontales	Verticales
Posición	$\theta$	$X$	$Y$
Velocidad	$\omega$	$v_{x}$	$v_{y}$
Aceleración	$\alpha$	$a$	$g$
Ecuación de movimiento	$\omega =\omega_{i}+\alpha t$	$v=v_{ix}+a\; t$	$v=v_{iy}-g\; t$
Ecuación de itinerario	$\begin{align} \theta =\theta_{i} +\omega_{i}\; t & \\ +\frac{1}{2}\alpha \; t^{2} & \end{align}$	$\begin{align} x =x_{i} +v_{ix}\; t & \\ +\frac{1}{2}a \; t^{2} & \end{align}$	$\begin{align} y =y_{i} +y_{ix}\; t & \\ -\frac{1}{2}g \; t^{2} & \end{align}$
Ecuación de velocidad-desplazamiento	$\omega ^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha \; \Delta \theta$	$v ^{2}=v _{ix}^{2}+2\alpha \; \Delta x$	$v ^{2}=v _{iy}^{2}-2g \; \Delta y$

Una relación simple para enlazar los conceptos del movimiento tangencial y angular es:

$r=\frac{\Delta S}{\Delta \theta}=\frac{V}{\omega }=\frac{a_{T}}{\alpha }$

donde:

$r$ es el radio de la circunferencia .
$\Delta S$ es el arco barrido .
$\Delta \theta$ es el ángulo del centro (en radianes).
$v$ es la rapidez tangencial o lineal.
$\omega$ es la rapidez angular.
$a_{T}$ es la aceleración tangencial.
$\alpha$ es la aceleración angular.

Ejercicio resuelto

1. Un auto que tiene sus ruedas de 0,8 [m] de diámetro, avanza a 108 [km/h] (30 m/s). Si el auto drásticamente frena y sus ruedas, uniformemente, dan 30 [vueltas] completas, determinar: a. la velocidad angular inicial. b. el desplazamiento angular. c. la aceleración angular. d. el desplazamiento del auto.

ejercicio-movimiento-circular-uniforme-variado

a. La velocidad angular inicial está dada por:

$\begin{align*} & \omega_{i} =\frac{v}{r}=\frac{30\; m/s}{0,4\; m}\\ & \omega_{i} =75\; \left [ rad/s \right ] \end{align*}$

b. El desplazamiento angular corresponde al número de vueltas en radianes, es decir:

$\begin{align*} & \Delta \theta = 2\pi \left [ N^{\circ}de\; vueltas \right ]\\ & \Delta \theta = 30\times 2\; \pi \\ & \Delta \theta = 60\pi \left [ rad \right ] \end{align*}$

c. Para calcular la aceleración angular, al detenerse, la velocidad angular final es nula; además, como no se conoce el tiempo, se recurre a la relación velocidad-desplazamiento:

$\begin{align*} & \omega ^{2} = \omega_{i}^{2}+2\alpha \; \Delta \theta \\ & 0^{2} = 75^{2}+2\alpha\; \; 60\pi \; \; \; \; \; \; \; \; \left [ \pi =3,14 \right ] \\ & \alpha = 14,9\left [ rad/s^{2} \right ] \end{align*}$

d. El desplazamiento del auto se determina sabiendo que

$\begin{align*} & \Delta x = \Delta S=\Delta \; \theta \; r \; \; \; \; \; \;\; \;\;\; luego\\ & \Delta x = 60\pi \times 0,4\left [ m \right ] \\ & \Delta x = 75,36\left [ m \right ] \end{align*}$

Ejercicio resuelto

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